Tập hợp điểm hữu hạn

Bao lồi của một tập hợp điểm hữu hạn S ⊂ R d {\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{d}} tạo thành một đa giác lồi khi d = 2 {\displaystyle d=2} , hoặc tổng quát hơn là một đa diện lồi trong R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} . Mỗi điểm cực biên của bao đó được gọi là đỉnh, và (theo định lý Krein–Milman) mỗi đa diện lồi đều là bao lồi của các đỉnh của nó. Nó chính là đa diện lồi duy nhất có các đỉnh thuộc S {\displaystyle S} và bao hết toàn bộ S {\displaystyle S} .[2] Với tập hợp các điểm ở vị trí tổng quát, bao lồi là một đa diện đơn hình.[20]

Theo định lý cận trên, số mặt của bao lồi của n {\displaystyle n} điểm trong không gian Euclid d {\displaystyle d} chiều là O ( n ⌊ d / 2 ⌋ ) {\displaystyle O(n^{\lfloor d/2\rfloor })} .[21] Đặc biệt, ở hai chiều và ba chiều, số mặt lớn nhất của bao lồi tuyến tính theo n {\displaystyle n} .[22]

Đa giác đơn

Bao lồi của một đa giác đơn bao quanh đa giác đã cho và được nó chia thành nhiều vùng, trong đó có một vùng là chính đa giác đó. Các vùng còn lại, được giới hạn bởi một chuỗi đa giác của đa giác và một cạnh của bao lồi, được gọi là rãnh. Thực hiện lặp lại phân tích này với mỗi rãnh một cách đệ quy thì một biểu diễn phân cấp của đa giác đã cho được tạo thành và được gọi là cây sai phân lồi của đa giác đó.[23] Chiếu lại một rãnh qua cạnh bao lồi của nó làm mở rộng đa giác đơn này thành một đa giác mới với chu vi không đổi và diện tích lớn hơn, và định lý Erdős–Nagy phát biểu rằng quá trình này chấm dứt tại một thời điểm nào đó.[24]

Chuyển động Brown

Đối với đường cong do chuyển động Brown tạo ra trong mặt phẳng tại bất kỳ thời gian cố định nào, xác suất để nó có bao lồi mà đường biên của bao lồi đó tạo thành một đường cong hữu vi liên tục là 1. Tuy nhiên, với một góc ϕ {\displaystyle \phi } thỏa mãn π / 2 < ϕ < π {\displaystyle \pi /2<\phi <\pi } , sẽ có một vài lần một chất điểm trong chuyển động Brown chạm vào đường biên của bao lồi tại một điểm của góc ϕ {\displaystyle \phi } . Số chiều Hausdorff của tập hợp các lần đặc biệt như thế là 1 − π / 2 ϕ {\displaystyle 1-\pi /2\phi } .[25]

Đường cong ghềnh

Đối với bao lồi của một đường cong ghềnh hoặc một tập hợp hữu hạn các đường cong ghềnh ở vị trí tổng quát trong không gian ba chiều, các phần của đường biên cách xa các đường cong này là các bề mặt xiên và khai triển được.[26] Một số ví dụ bao gồm oloid, bao lồi của hai đường tròn trong các mặt phẳng vuông góc đi qua tâm của nhau,[27] sphericon, bao lồi của hai nửa đường tròn tròn đồng tâm trong các mặt phẳng vuông góc, và D-form, các hình lồi có được từ định lý Alexandrov đối với một mặt phẳng được tạo thành bằng cách dán hai tập lồi phẳng cùng chu vi lại với nhau.[28]

Hàm toán học

Bao lồi hoặc bao lồi dưới của một hàm f {\displaystyle f} trong một không gian vectơ thực là hàm có đồ thị trên là bao lồi dưới của đồ thị trên của f {\displaystyle f} . Nó là hàm lồi cực đại duy nhất được làm trội bởi f {\displaystyle f} .[29] Định nghĩa này có thể được mở rộng cho bao lồi của một tập hợp các hàm (có được từ bao lồi của hợp của các đồ thị trên, hoặc từ giá trị nhỏ nhất theo từng điểm của chúng) và, ở dạng này, có tính đối ngẫu với phép toán liên hợp lồi.[30]